Grigori Perelman ve Poincare Konjekturu

Ocak 1904’te Fransız matematikçi Poincaré tarafından formüle edilen Poincaré Konjeksiyonu, 2002 yılında Grigori Perelman tarafından kanıtlanana kadar yirminci yüzyılda en zorlu açık sorulardan biri olarak kaldı.

Kil Matematik Enstitüsü tarafından, çözüldüğünde bir milyon dolarlık ödül verecek olan yedi Milenyum Ödül Probleminden biri olarak kabul edilmiştir. Grigori Perelman, “geometriye yaptığı katkılar ve devrimci kavrayışları” nedeniyle olağanüstü kanıtlarına yol açan bir Alan Madalyası ile ilişkilendirildi. Hem ödülü hem de madalyayı reddetti.

Araştırmalarım, Grigori Perelman’ın ispatına yol açan varsayım tarihinin ve matematiksel yolun, bunun yanı sıra, en azından Perelman’ın kendine özgü kişiliği ve Matematiğin nasıl tasarlanması ve araştırılması gerektiği konusundaki özel anlayışı kadar ilginç olduğunu gösterdi. Poincaré’nin yer aldığı Matematik alanı topoloji olarak benim uzmanlık alanımdan daha çok ilgi duyulan bir konudur, bu makaledeki matematiksel gelişmeler teknik olmayacak, ancak Konjektif’in kapsamını ve Perelman’ın kanıtının arkasındaki fikri anlayacak kadar yeterli olacaktır. – ve bence okuyucudan ileri düzeyde matematiksel bilgi gerektirmez.

Topoloji ve Poincaré Konjeksiyonu’na kısa bir giriş. Topoloji, şekillerin ve boşlukların matematiksel olarak incelenmesi ve bunları tam olarak tanımlama isteğidir.

Amerikalı matematik profesörü Donald O’Sea, topolojiyi şu terimlerle açıklamaya çalıştı: Aşık olmanın veya acı hissetmenin ne olduğunu biliyoruz ve iletişim kurmak için kesin tanımlara ihtiyacımız yok. Bununla birlikte, matematiğin nesneleri ortak deneyimin dışındadır. Eğer kişi bu nesneleri dikkatli bir şekilde tanımlamazsa, onları anlamlı bir şekilde manipüle edemez veya başkaları hakkında onlar hakkında konuşamaz. Bu ana matematik alanının ardındaki ana fikir, bir nesneyi incelerken, nesnenin kendisi değil, önemli olan özellikleridir – ve birkaç nesne aynı özellikleri paylaşıyorsa, birlikte incelenmeleri ve sonuçların bu özellikleri paylaşan tüm nesneler (bu nesnelere birbirlerine homeomorfik diyoruz).

Matematikteki topolojinin ilk izi, Euler’in Königsberg’in yedi köprüsünü tam olarak bir kez geçemeyeceği gösterisine dayanıyor. Euler kağıdı sadece Königsberg şehrine uygulanmakla kalmadı, aynı zamanda homeomorfik olan her konfigürasyona da uygulandığı için önemliydi. Bir topolog için, bir topuz ve bir küre, oval ve bir daire ile aynıdır. Gerçekten de, bu çiftlerin her biri için, nesnenin derin özelliklerini değiştirmeden birinden diğerine giden bir dönüşüm vardır. Bununla birlikte, bir küre ve bir çörek birbirine homeomorfik değildir: küreyi topolojik anlamda nasıl dönüştürürsek değiştirelim, kürenin özelliklerini değiştirmeden çörek deliğini oluşturamayız.

Poincaré Konjeksiyonu şu şekildedir: Her basit bağlı, kapalı 3-manifold, 3-küreye homeomorfiktir.Üç boyutlu bir nesneden iki boyutlu bir nesneye geçerek bu varsayımın çok daha basit bir sürümünü ele alalım. Gerçekten de, topolojide, boyutlar matematiğin diğer alanlarında olduğu gibi anlaşılmamaktadır. Yaygın olarak resmedildiği gibi bir küreye 2 küre denir ve üç boyutlu bir alanda görülen bir topun yüzeyi olarak görülür. Üç boyutlu bir küre, dört boyutlu bir topun yüzeyidir. Bu nedenle, dört boyutlu bir alanda 3 kürenin kişinin ek bir soyutlama seviyesi gerektirdiği için resmini çizmesi kolay değildir: üç boyutlu algısında kullanılan ortalama insan aklı sadece yapamaz. Basitleştirilmiş görüşümüze göre, burada ele alınan küre her zamanki küremizle aynıdır ve bir manifold matematiksel bir şekil olarak görülebilir (bir damla, bir topuz, bir küp veya bir küre gibi). Yüzeyinde delik yoksa veya daha kesin olarak sınırları olmayan manifoldun kapalı olduğunu söylüyoruz.

Her ilmeğin bir noktaya sürekli olarak sıkıştırılabilmesi için basit bir şekilde bağlı olduğunu söylüyoruz: bir lastik bandı bir kürenin etrafına sardığımızı hayal edelim, daha sonra kürenin üzerinde kayarken, dönüştüğü noktaya kadar sıkıldığını ve sıkıldığını hayal edebiliriz sadece bir nokta.Basit bağlantılı manifoldİki boyutta, Konjektifler, bir damla, çörek veya gözleme topolojisinin temel bir sonucu olan bir küreye homeomorfik olduğunu söylüyor. Bununla birlikte, üç boyutta, bu sonuç önemsiz olmaktan uzaktır ve matematikçilerin zihinlerini yaklaşık bir asır boyunca etkiledi.

Poincaré’yi çözmek için verimsiz girişimler: Konjonktür yirminci yüzyılın başlarında yapılmış olsa da, ilk ilginç sonuçlar ikinci yarısında ortaya çıkmaya başladı. Genellikle topolojide (veya matematiğin diğer bazı alanlarında) olduğu gibi, bir hipotez kanıtlanması gereken bazı zorluklar gösterdiğinde, bir yöntem onu; diğer boyutlarda denemektir. İki boyutta kolay olduğunu gördük, ama üçten yüksek boyutlar ne olacak?1960’da Amerikalı bir matematikçi olan John Stallings, yediden daha yüksek boyutlar için bir kanıt yayınladı. Daha sonra Stephen Smale, 5’ten daha büyük boyutlar için Konjonktürü kanıtlamanın başka bir yolunu bulmayı başardı. Diğer birçok matematikçi az çok hayal gücü ve başarı ile kanıtlar yayınladı, ancak şu anda hiçbiri üçüncü boyuta yaklaşmıyordu.

İlginç bir gerçek, John Stallings, 1966’da “Poincaré Konjeksiyonu Nasıl Çözülmez” adlı bir bildiri yayınladı: Poincaré’nin Konjonktürünü yanlış bir şekilde kanıtlamanın günahını yaptım. Şimdi, başkalarını benzer hatalar yapmaktan caydırmak umuduyla, yanlış kanıtımı açıklayacağım. Kim bilir ama bir şekilde küçük bir değişiklik, yeni bir yorum ve bu ispat çizgisi düzeltilebilir!Birçok yeni potansiyelin bulunduğu 1980’lere kadar işler yavaşça ilerledi. 1982’de Michael Freedman, dördüncü boyuttaki Poincaré’yi kanıtladığı için Fields Madalyası kazandı. Başka bir topolog William Thurston, 1982’de geometrizasyon varsayımı olarak adlandırılan başka bir varsayım geliştirdi. Bu varsayım kanıtlanmış olsaydı, Poincaré onu takip ederdi.

Bu, Poincaré’ye yeniden ilgi duymaya başladı ve yüzyılın ikinci yarısındaki en iyi Amerikalı topologlardan biri olan ve üç boyutlu varsayımı kanıtlama girişimlerinde atılım yapan Hamilton’un çalışmalarına dikkat çekti. Çalışmaları, tanınmış eğrilik kavramına ve bir kürenin temel bir kalite olarak olumlu ve sabit bir gerçeğe sahip olmasına dayanıyordu. Bu nedenle, eğer tanımlanamayan bir nesnenin eğriliğini ölçmek ve bu nesneyi yeniden şekillendirirken ölçmeye devam etmek için bir yolu varsa, o zaman sonunda, bu nesnenin pozitif ve sabit bir eğriliğe sahip olacağı noktaya gelebilir. O zaman, doğa gereği bir küre olacak ve varsayım kanıtlanacaktır.

Hamilton yeterli bir ölçü oluşturmayı ve nesneyi yeniden şekillendirirken varyasyonlarını incelemeyi başardı. Metriği dönüştürme işlemine Ricci akışı denir Hamilton, eğriliğin pozitif kalacağını kanıtlamayı başardı, ancak varyasyonlarını incelerken vuruldu: sabit kaldığını kanıtlayamadı. Gerçekten de, bloku yeniden şekillendirirken, Ricci akışı bazen tekillikle karşılaşır – yani, blokun akışın baş edebileceği davranıştan sapacak bir alanı. Daha sonra Grigori Perelman tarafından yeniden kullanılan Hamilton fikri, bu sorunları elle düzeltmekti, yani akışın durdurulacağı, tekilliğe özel olarak uyarlanmış bir işlevle muamele edildi ve akış yeniden başlatılacaktı – bu sürece Ricci akışı denir. Bununla birlikte, Hamilton, bu operasyonun damla üzerinde hangi tekillik geliştiğine bakılmaksızın veya hepsini tanımlamış olmasından bağımsız olarak çalışabileceğini kanıtlayamadı.

Buna ek olarak, programı eğriliğin düzgün bir şekilde sınırlanması gerektiği varsayımına dayanıyordu: adil bir varsayım belki de kanıtlanmamış bir var sayım.Bu teorik sorunlar ilerlemesini tamamen durdurdu, ancak Hamilton’un geliştirdiği program, Grigori Perelman’ın kanıtının ve dehasının gelişeceği verimli topraklar oldu.

Grigori Perelman 1966’da Saint Petersburg’da doğdu. 10 yaşında mükemmel matematik becerileri gösteren annesi, genç dahiler öğretmekte mükemmel olan 19 yaşındaki seçkin bir matematik öğretmeni olan Sergei Rukshin tarafından yönetilen bir matematik kulübüne kaydoldu. Grigori Perelman’ın doğal yetenekleri kulüpte yoğun bir şekilde uyarıldı ve hızla yetenekli olduğu değil, aynı zamanda bir şey yazmadan neredeyse herhangi bir sorunu çözebilecek oldukça sistematik bir zihne sahip olduğu hızla ortaya çıktı. Öğretmeni ve en yakın arkadaşı olan Rukshin’e göre matematik dışında hiçbir şeye ilgi göstermedi ve dünya ile insan ilişkisinin matematik kadar kusursuz organize olmadığı ve tanımlanmadığı fikrini kabul edemedi.

Örnek olarak, Sovyet Rusya’nın neredeyse her yönünde (eğitim ve bilimsel araştırmalar dahil) veya herhangi bir yerde herhangi bir antisemitizmin rasyonel bir davranış olmadığı için sürünen bir antisemitizm olduğuna inanmayı her zaman reddetti. Her neyse, olağanüstü yetenekleri, Uluslararası Matematik Olimpiyatları için (Yahudi olmasına rağmen) SSCB ekibine girmesine ve 1982’de mükemmel bir skor ve altın madalya atmasına izin verdi. Bu ödül, çalışmasına izin verilen iki Yahudi öğrenciden biri olmasına izin verdi. Leningrad Devlet Üniversitesi’nin prestijli Matematik ve Mekanik Okulu’nda. Orada, en büyük Rus matematiğinden biriyle tanıştı.

Grigori Perelman ve İspat Yolu Grigori Perelman 1966’da Saint Petersburg’da doğdu. 10 yaşında mükemmel matematik becerileri gösteren annesi, genç dahiler öğretmekte mükemmel olan 19 yaşındaki seçkin bir matematik öğretmeni olan Sergei Rukshin tarafından yönetilen bir matematik kulübüne kaydoldu. Grigori Perelman’ın doğal yetenekleri kulüpte yoğun bir şekilde uyarıldı ve hızla yetenekli olduğu değil, aynı zamanda bir şey yazmadan neredeyse herhangi bir sorunu çözebilecek oldukça sistematik bir zihne sahip olduğu hızla ortaya çıktı. Öğretmeni ve en yakın arkadaşı olan Rukshin’e göre matematik dışında hiçbir şeye ilgi göstermedi ve dünya ile insan ilişkisinin matematik kadar kusursuz organize olmadığı ve tanımlanmadığı fikrini kabul edemedi.

Örnek olarak, Sovyet Rusya’nın neredeyse her yönünde (eğitim ve bilimsel araştırmalar dahil) veya herhangi bir yerde herhangi bir antisemitizmin rasyonel bir davranış olmadığı için sürünen bir antisemitizm olduğuna inanmayı her zaman reddetti. Her neyse, olağanüstü yetenekleri, Uluslararası Matematik Olimpiyatları için (Yahudi olmasına rağmen) SSCB ekibine girmesine ve 1982’de mükemmel bir skor ve altın madalya atmasına izin verdi. Bu ödül, çalışmasına izin verilen iki Yahudi öğrenciden biri olmasına izin verdi. Leningrad Devlet Üniversitesi’nin prestijli Matematik ve Mekanik Okulu’nda. Orada, zamanın geometrisini tanıtan ve doktora tezini denetleyen Aleksandr Aleksandrov’un en büyük Rus matematikçilerinden biriyle tanıştı.

Demir Perde’nin düşmesinden sonra Grigori Perelman, ABD üniversitelerine uzun bir yolculuk yaptı ve çeşitli araştırma pozisyonları aldı. Orada topoloji üzerinde çalışmaya başladı ve Ricci akışına biraz ilgi gösterdi. Perelman’ın ilk bilimsel başarısı, 1993’teki Soul varsayımının kanıtıydı. Soul varsayımı, kişinin, bu nesnelerin ruh olarak adlandırılan sadece küçük bölgelerinden bir matematiksel nesnenin özelliklerini çıkarabileceğini belirtti. Önceki girişimler, varsayımın yalnızca bir kısmını kanıtlayan uzun ve son derece teknik makalelerle sonuçlandı. Perelman’ın gazetesi sadece dört sayfa uzunluğundaydı ve görünüşte sadeliği ile birçok matematikçiyi vurdu: kullandığı “hile” yirmi yıldır kamu malıdır.

Perelman’ın kariyerindeki bu ilk başarı en prestijli üniversitelerin dikkatini çekti: Princeton ve Stanford ona reddettiği bir profesörlük teklif etti. 1995 yılında Saint Petersburg’daki Steklov Enstitüsü’nde araştırmalarına tüm takdirine bağlı olarak devam etmek için Rusya’ya döndü. 1995’ten Kasım 2002’ye kadar, Poincaré’nin Konjonktürü’nde tek başına çalıştı ve matematik topluluğuyla neredeyse tüm temasları kesti.Bu yedi yıl içinde Grigori Perelman, Hamilton’un kanıtı bulma umudunu aşan zorlukların üstesinden gelmeyi başardı.

İlk olarak, eğriliğin eşit olarak sınırlandığı varsayımını gösterdi, çünkü ispatın belirli alanında, her zaman böyle. İkincisi, tekilliklerin her zaman aynı kesin durumda (akış çok hızlı büyüyeceği zaman) ortaya çıkacağını gösterdi ve hepsine karşı etkili olacak bir işlev tasarladı. Hamilton’un tespit ettiği bazı tekilliklerin asla gerçekleşmeyeceğini bile kanıtladı. Kasım 2002’de Grigori Perelman, Poincaré’ye dair kanıtını içeren üç baskıdan ilki internette yayınladı. Daha önce de belirtildiği gibi, Perelman baskılarını internette yayınladı (daha kesin olması için baskı için bilimsel bir arşiv olan arXiv.org’da), ancak hiçbir şekilde bunları bilimsel bir dergide yayınlamak için göndermedi. Doğruluklarından kesinlikle emin olduğu için başka birinin makalesini gözden geçirebileceği fikrine gerçekten isteksizdi.

Göze çarpan bir başka gerçek, hiçbir şekilde açıklama veya inceleme içermeyen makalelerin kendileriyle ilgiliydi – Grigori Perelman, açıklamaya gerek olmadığını, kanıtının kendi kendine yeterli olduğunu söyledi. İspatta sadece teknik detaylar yoktu. ABD’de sadece kanıtları hakkında bir dizi konferans verdi ve bir milyon dolarlık ödül sorunu ile ilgisi ortaya çıkan medyadan saklanmak için anavatanında emekli oldu.

Bildiğimiz gibi, bilimsel bir dergiye gönderme sürecinin, sonuçlarının topluluğa yayılmasının yanı sıra, bu sonuçları doğrulamak amacı da vardır. Burada, Grigori Perelman tarafından böyle bir yaklaşım imkansız hale getirildi, bu nedenle bazı bağımsız akademisyen grupları, çalışmalarını anlamak, tamamlamak, doğrulamak ve açıklamak için çok zor bir görev üstlendi. Çinli matematikçiler Cao ve Zhu tarafından oluşturulan bu gruplardan biri, krediyi almak için kanıttaki boşluklardan bile yararlanmaya çalıştı – makalelerinde «bu kanıt Hamilton-Grigori Perelman’ın taç giydirme başarısı olarak görülmelidir.